范畴论

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[1] arXiv:2508.04054 (交叉列表自 math.RT) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 表示的张量幂 of (图) 么半群 显示英文标题

标题： Tensor powers of representations of (diagram) monoids

David He, Daniel Tubbenhauer

评论： 19页，许多图表，欢迎提出意见

主题： 表示理论 (math.RT) ; 范畴论 (math.CT) ; 群论 (math.GR)

我们研究有限独异点表示的张量幂，重点关注其合成长度和不可约直和项数的增长行为。 特别关注诸如Temperley-Lieb、Motzkin和Brauer独异点之类的图示独异点。 对于这些例子，我们计算了具体的资料，包括一些特征表，并分析了它们张量幂分解中的模式。 显示英文摘要

We study tensor powers of representations of finite monoids, focusing on the growth behavior of their composition length and the number of indecomposable summands. Special attention is given to diagram monoids such as the Temperley-Lieb, Motzkin, and Brauer monoids. For these examples, we compute explicit data, including some character tables, and analyze patterns in the decomposition of their tensor powers.

[2] arXiv:2508.04693 (交叉列表自 math-ph) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 有限2-群规范理论及其3+1D晶格实现 显示英文标题

标题： Finite 2-group gauge theory and its 3+1D lattice realization

Mo Huang

评论： 41页。欢迎提出所有意见

主题： 数学物理 (math-ph) ; 强关联电子 (cond-mat.str-el) ; 高能物理 - 理论 (hep-th) ; 范畴论 (math.CT) ; 量子代数 (math.QA)

在本工作中，我们使用Tannaka-Krein重构来计算有限2群$\mathcal G$的量子双代数$\mathcal D(\mathcal G)$，作为一个霍普夫单子范畴。 我们还从2群$\mathcal G$的Dijkgraaf-Witten拓扑量子场论函子构造了一个3+1D格点模型，推广了Kitaev的2+1D量子双代数模型。 值得注意的是，该格点模型中的类似弦的局部算符被证明形成$\mathcal D(\mathcal G)$。 专门针对$\mathcal G = \mathbb{Z}_2$，我们证明了3+1D拓扑码模型中的拓扑缺陷是$\mathcal D(\mathbb{Z}_2)$上的模。 显示英文摘要

In this work, we employ the Tannaka-Krein reconstruction to compute the quantum double $\mathcal D(\mathcal G)$ of a finite 2-group $\mathcal G$ as a Hopf monoidal category. We also construct a 3+1D lattice model from the Dijkgraaf-Witten TQFT functor for the 2-group $\mathcal G$, generalizing Kitaev's 2+1D quantum double model. Notably, the string-like local operators in this lattice model are shown to form $\mathcal D(\mathcal G)$. Specializing to $\mathcal G = \mathbb{Z}_2$, we demonstrate that the topological defects in the 3+1D toric code model are modules over $\mathcal D(\mathbb{Z}_2)$.

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[3] arXiv:2407.18417 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 一个对所有Grothendieck拓扑都是刚性的范畴的准则 显示英文标题

标题： A Criterion for Categories on which every Grothendieck Topology is Rigid

Jérémie Marquès

评论： 8页。v2：增加了特征的另一个方向[在v2中，引理4.2的证明有一个拼写错误，每个Hom(A,B)应替换为Hom(B,A)]。v3：论文的重新组织

主题： 范畴论 (math.CT)

设$\mathbf{C}$为一个柯西完备范畴。 $[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$的子拓扑是有时都为$[\mathbf{D}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$的形式，其中$\mathbf{D}$是$\mathbf{C}$的一个全子范畴。 例如当$\mathbf{C}$是有限的、阿廷偏序集或单形范畴时，就是这种情况。 为了统一这些情况，我们对小范畴$\mathbf{C}$进行刻画，使得对于每个$X \in \mathbf{C}$，$[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$的每个子拓扑均由$\mathbf{C}_{/X}$的子范畴所诱导。 我们提供了两种等价的刻画。 第一种使用了一个双人游戏，第二种结合了$\mathbf{C}$的两个“局部”性质，分别涉及其分片的偏序反射和自同态独异群。 显示英文摘要

Let $\mathbf{C}$ be a Cauchy-complete category. The subtoposes of $[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ are sometimes all of the form $[\mathbf{D}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ where $\mathbf{D}$ is a full subcategory of $\mathbf{C}$. This is the case for instance when $\mathbf{C}$ is finite, an Artinian poset, or the simplex category. In order to unify these situations, we characterize the small categories $\mathbf{C}$ such that for every $X \in \mathbf{C}$, every subtopos of $[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ is induced by a subcategory of $\mathbf{C}_{/X}$. We provide two equivalent characterizations. The first one uses a two-player game, and the second one combines two "local" properties of $\mathbf{C}$ involving respectively the poset reflections of its slices and its endomorphism monoids.

[4] arXiv:2303.05623 (替换) [中文pdf, pdf, 其他]

标题： 将同伦等价与依赖类型理论中的保守性相关联，带有计算公理 显示英文标题

标题： Relating homotopy equivalences to conservativity in dependent type theories with computation axioms

Matteo Spadetto

评论： 84页，欢迎提出意见

主题： 逻辑 (math.LO) ; 计算机科学中的逻辑 (cs.LO) ; 范畴论 (math.CT)

我们证明了关于扩展类型理论相对于命题类型理论的保守性结果，即使用同伦类型理论的见解，依赖类型理论具有命题计算规则或计算公理。该论证利用了上下文之间规范同伦等价的概念，并使用带有属性的范畴来表述依赖类型理论的语义。非正式地，我们的主要结果断言，对于基本上涉及h-sets的判断，使用扩展类型理论或命题类型理论进行推理是等价的。 显示英文摘要

We prove a conservativity result for extensional type theories over propositional ones, i.e. dependent type theories with propositional computation rules, or computation axioms, using insights from homotopy type theory. The argument exploits a notion of canonical homotopy equivalence between contexts, and uses the notion of a category with attributes to phrase the semantics of theories of dependent types. Informally, our main result asserts that, for judgements essentially concerning h-sets, reasoning with extensional or propositional type theories is equivalent.

[5] arXiv:2405.19042 (替换) [中文pdf, pdf, 其他]

标题： $(d+2)$-角范畴上的秩函数 -- 一种函子方法 显示英文标题

标题： Rank functions on $(d+2)$-angulated categories -- a functorial approach

David Nkansah

评论： 31页。通过加强定义2.1（公理RO2）修正了命题2.12。在第2节中添加了例子

主题： 表示理论 (math.RT) ; 范畴论 (math.CT) ; 环与代数 (math.RA)

我们引入了在$(d+2)$-角范畴$\mathcal{C}$上的秩函数的概念，该概念推广了在三角范畴上的秩函数概念。 受Chuang和Lazarev工作的启发，对于$d$为奇正整数的情况，我们证明了在$\mathcal{C}$中对象上定义的秩函数与在$\mathcal{C}$中态射上定义的秩函数之间存在双射对应关系。 受Conde、Gorsky、Marks和Zvonareva工作的启发，对于$d$为一个奇正整数，我们证明了$\operatorname{\mathsf{Proj}}A$上的秩函数与$\operatorname{\mathsf{mod}}(\operatorname{\mathsf{Proj}}A)$上的可加函数之间存在双射对应关系，其中$\operatorname{\mathsf{Proj}}A$被赋予了Amiot-Lin$(d+2)$-角范畴结构。这使我们能够证明$\operatorname{\mathsf{Proj}}A$上的每个整数秩函数都可以分解为不可约秩函数。 显示英文摘要

We introduce the notion of a rank function on a $(d+2)$-angulated category $\mathcal{C}$ which generalises the notion of a rank function on a triangulated category. Inspired by work of Chuang and Lazarev, for $d$ an odd positive integer, we prove that there is a bijective correspondence between rank functions defined on objects in $\mathcal{C}$ and rank functions defined on morphisms in $\mathcal{C}$. Inspired by work of Conde, Gorsky, Marks and Zvonareva, for $d$ an odd positive integer, we show there is a bijective correspondence between rank functions on $\operatorname{\mathsf{Proj}}A$ and additive functions on $\operatorname{\mathsf{mod}}(\operatorname{\mathsf{Proj}}A)$, where $\operatorname{\mathsf{Proj}}A$ is endowed with the Amiot-Lin $(d+2)$-angulated category structure. This allows us to show that every integral rank function on $\operatorname{\mathsf{Proj}}A$ can be decomposed into irreducible rank functions.

[6] arXiv:2504.02143 (替换) [中文pdf, pdf, 其他]

标题： 关于具有等变交换操作符的张量积 显示英文标题

标题： On tensor products with equivariant commutative operads

Natalie Stewart

评论： 欢迎提出意见。版本2：小幅修改，增加了附录D。62页

主题： 代数拓扑 (math.AT) ; 范畴论 (math.CT)

我们确认并推广了Blumberg和Hill的一个猜想：单位弱$\mathcal{N}_\infty$-操作数在$\infty$-范畴的Boardman-Vogt张量积下是封闭的，且得到的张量积对应于弱索引系统的连接；特别是，我们获得了一个自然的$G$-对称单陪范畴等价\[ \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{I} \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{J} \mathcal{C} \simeq \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{I \vee J} \mathcal{C}. \]。我们通过证明$\mathcal{N}_{I\infty}^{\otimes}$是$\otimes$-幂等的，并且如果$\mathcal{O}$-独异元$G$-空间满足$I$-索引的Wirthmüller同构，则$\mathcal{O}^{\otimes}$对于相应的 smashing 局部化是局部的。 最终，我们通过推进笛卡尔和余笛卡尔$I$-对称单子$\infty$-范畴的等变高阶代数来实现这一点。 此外，我们获得了一些关于$G$-操作子的结构结果，包括将$\otimes$提升为一个规范的对称单子结构，以及计算非约化单位$G$-操作子张量积的一般分解和组合过程。 所有这些结果都在原子轨道$\infty$-范畴的普遍性中被证明。 我们还得到了(迭代)实拓扑Hochschild和循环同调的预期推论，并在$\mathcal{N}_{I\infty}$-代数上的右模上构造了一个自然的$I$-对称单子结构。 显示英文摘要

We affirm and generalize a conjecture of Blumberg and Hill: unital weak $\mathcal{N}_\infty$-operads are closed under $\infty$-categorical Boardman-Vogt tensor products and the resulting tensor products correspond with joins of weak indexing systems; in particular, we acquire a natural $G$-symmetric monoidal equivalence \[ \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{I} \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{J} \mathcal{C} \simeq \underline{\mathrm{CAlg}}^{\otimes}_{I \vee J} \mathcal{C}. \] We accomplish this by showing that $\mathcal{N}_{I\infty}^{\otimes}$ is $\otimes$-idempotent and $\mathcal{O}^{\otimes}$ is local for the corresponding smashing localization if and only if $\mathcal{O}$-monoid $G$-spaces satisfy $I$-indexed Wirthm\"uller isomorphisms. Ultimately, we accomplish this by advancing the equivariant higher algebra of cartesian and cocartesian $I$-symmetric monoidal $\infty$-categories. Additionally, we acquire a number of structural results concerning $G$-operads, including a canonical lift of $\otimes$ to a presentably symmetric monoidal structure and a general disintegration and assembly procedure for computing tensor products of non-reduced unital $G$-operads. All such results are proved in the generality of atomic orbital $\infty$-categories. We also achieve the expected corollaries for (iterated) Real topological Hochschild and cyclic homology and construct a natural $I$-symmetric monoidal structure on right modules over an $\mathcal{N}_{I\infty}$-algebra.