标题： 对数函数的积分和交替多重黎曼 zeta 值 显示英文标题

标题： Integrals of logarithmic functions and alternating multiple zeta values

摘要： 通过使用级数的迭代积分表示方法，我们建立了多重Zeta值与对数函数积分之间的一些显式关系。 作为这些关系的应用，我们证明了形式为\[\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}} ),\ (k,m\in \mathbb{N})\]的多重Zeta值，当$m=1$或$k=1$时，以及形式为\[\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},p,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}}),\ (k,m\in\mathbb{N})\]的多重Zeta值，当$p=1$和$2$时，满足某些递推关系，这些关系允许我们将它们用Zeta值、多对数函数和$\ln 2$表示。 此外，我们还证明了当 $m=k\in \mathbb{N}$时，多重zeta值 $\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},3,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}} )$ 可以表示为zeta值、多重对数和 $\ln 2$ 的乘积的有理线性组合。 此外，我们还得到了某些在 $\frac {1}{2}$ 处的多重对数值的约简。 显示英文摘要

摘要： By using the method of iterated integral representations of series, we establish some explicit relationships between multiple zeta values and Integrals of logarithmic functions. As applications of these relations, we show that multiple zeta values of the form \[\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}} ),\ (k,m\in \mathbb{N})\] for $m=1$ or $k=1$, and \[\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},p,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}}),\ (k,m\in\mathbb{N})\] for $p=1$ and $2$, satisfy certain recurrence relations which allow us to write them in terms of zeta values, polylogarithms and $\ln 2$. Moreover, we also prove that the multiple zeta values $\zeta ( {\bar 1,{{\left\{ 1 \right\}}_{m - 1}},3,{{\left\{ 1 \right\}}_{k - 1}}} )$ can be expressed as a rational linear combination of products of zeta values, multiple polylogarithms and $\ln 2$ when $m=k\in \mathbb{N}$. Furthermore, we also obtain reductions for certain multiple polylogarithmic values at $\frac {1}{2}$.