标题： 一种解析的LT等变指标和非交换几何 显示英文标题

标题： An Analytic LT-equivariant Index and Noncommutative Geometry

摘要： 设$T$为一个圆，$LT$为其环路群。 设$\mathcal{M}$为一个赋予良好$LT$-作用的无限维流形。 我们为$\mathcal{M}$构造了一个解析的$LT$-等变指标，并用非交换几何来验证它。 更准确地说，我们构造了一个希尔伯特空间$\mathcal{H}$，它由“Clifford模丛的$L^2$-截面”组成，并且有一个“狄拉克算子”$\mathcal{D}$，它作用于$\mathcal{H}$。然后，我们定义了以$LT$的表示群为值的$\mathcal{D}$的解析指标，称为韦尔林德环。 我们还定义了一个“扭曲交叉乘积$LT\ltimes_\tau C_0(\mathcal{M})$”，尽管我们无法定义每个概念“在无穷远处消失的函数代数对于$\mathcal{M}$”，“从$LT$到一个$C^*$-代数在无穷远处消失的函数”，以及在$LT$上的哈尔测度。 此外，我们以谱三元组的形式将它们全部结合，并验证该三元组具有无限的谱维数。 最后，我们添加了一些应用，包括$LT$的Borel-Weil理论。 显示英文摘要

摘要： Let $T$ be a circle and $LT$ be its loop group. Let $\mathcal{M}$ be an infinite dimensional manifold equipped with a nice $LT$-action. We construct an analytic $LT$-equivariant index for $\mathcal{M}$, and justify it in terms of noncommutative geometry. More precisely, we construct a Hilbert space $\mathcal{H}$ consisting of "$L^2$-sections of a Clifford module bundle" and a "Dirac operator" $\mathcal{D}$ which acts on $\mathcal{H}$. Then, we define an analytic index of $\mathcal{D}$ valued in the representation group of $LT$, so called Verlinde ring. We also define a "twisted crossed product $LT\ltimes_\tau C_0(\mathcal{M})$," although we cannot define each concept "function algebra for $\mathcal{M}$ vanishing at infinity," "function from $LT$ to a $C^*$-algebra vanishing at infinity," and a Haar measure on $LT$. Moreover we combine all of them in terms of spectral triples and verify that the triple has an infinite spectral dimension. Lastly, we add some applications including Borel-Weil theory for $LT$.