标题： 关于 Yamabe 不变量在$S^3$上的稳定性 显示英文标题

标题： On the stability of the Yamabe invariant of $S^3$

摘要： 设$g$是$\mathbb{R}^3$上的一个完备的、渐近平坦的度量，其标量曲率为零。 此外，假设$(\mathbb{R}^3,g)$支持一个几乎欧几里得的$L^2$Sobolev 不等式。 我们证明，$(\mathbb{R}^3,g)$在 Lee-Naber-Neumayer 定义的$d_p$-距离下必须接近欧几里得空间。 然后我们讨论了$S^3$的 Yamabe 不变量稳定性的一些后果。 更准确地说，我们证明如果这样的流形$(\mathbb{R}^3,g)$拥有一个适当归一化的正解$\Delta_g w + \lambda w^5 = 0$，那么$w$在某种意义上必须接近于一个将欧几里得空间转换为球面的共形因子。 显示英文摘要

摘要： Let $g$ be a complete, asymptotically flat metric on $\mathbb{R}^3$ with vanishing scalar curvature. Moreover, assume that $(\mathbb{R}^3,g)$ supports a nearly Euclidean $L^2$ Sobolev inequality. We prove that $(\mathbb{R}^3,g)$ must be close to Euclidean space with respect to the $d_p$-distance defined by Lee-Naber-Neumayer. We then discuss some consequences for the stability of the Yamabe invariant of $S^3$. More precisely, we show that if such a manifold $(\mathbb{R}^3,g)$ carries a suitably normalized, positive solution to $\Delta_g w + \lambda w^5 = 0$ then $w$ must be close, in a certain sense, to a conformal factor that transforms Euclidean space into a round sphere.