标题： 关于一些由二次剩余产生的行列式 显示英文标题

标题： On some determinants arising from quadratic residues

摘要： 设$p>3$为一个素数，并设$d\in\mathbb Z$与$p\nmid d$。 对于行列式$$S_m(d,p)=\det\left[(i^2+dj^2)^{m}\right]_{1\leqslant i,j \leqslant (p-1)/2}\ \ \left(\frac{p-1}2\leqslant m\leqslant p-1\right),$$，Sun 最近在$m\in\{p-2,p-3\}$和$(\frac {-d}p)=-1$时确定了$S_m(d,p)$模$p$。 在本文中，我们在剩余情况$(\frac{-d}p)=1$下得到$S_{p-2}(d,p)$模$p$，并在一些特殊情况下确定勒让德符号$(\frac{S_{p-3}\,(d,p)}p)$和$(\frac{S_{p-4}\,(d,p)}p)$。 显示英文摘要

摘要： Let $p>3$ be a prime, and let $d\in\mathbb Z$ with $p\nmid d$. For the determinants $$S_m(d,p)=\det\left[(i^2+dj^2)^{m}\right]_{1\leqslant i,j \leqslant (p-1)/2}\ \ \left(\frac{p-1}2\leqslant m\leqslant p-1\right),$$ Sun recently determined $S_m(d,p)$ modulo $p$ when $m\in\{p-2,p-3\}$ and $(\frac {-d}p)=-1$. In this paper, we obtain $S_{p-2}(d,p)$ modulo $p$ in the remaining case $(\frac{-d}p)=1$, and determine the Legendre symbols $(\frac{S_{p-3}\,(d,p)}p)$ and $(\frac{S_{p-4}\,(d,p)}p)$ in some special cases.