标题： 内在和正常平均里奇曲率：简单d-向量的Bochner--Weitzenboeck恒等式 显示英文标题

标题： Intrinsic and Normal Mean Ricci Curvatures: A Bochner--Weitzenboeck Identity for Simple d-Vectors

摘要： 我们在切空间 \$T_p M\$ 中的 \$d\$ 维平面 \$\Pi\$ 上引入了截面曲率的两个点态子空间平均值：(i) 内蕴平均里奇（包含在 \$\Pi\$ 中的 2-平面的截面曲率的平均值）；以及 (ii) 法（混合）平均里奇（由一个向量在 \$\Pi\$ 中和一个向量在 \$\Pi^\{\perp\}\$ 中张成的 2-平面的截面曲率的平均值）。 利用雅可比场展开，这些平均值作为内蕴 \$(d-1)\$-球面和法 \$(n-d-1)\$-球面体积元素中的 \$r^2/6\$ 系数出现。 直接结果是对于由正交标架 \$X_1, \ldots, X_d\$ 构建的简单 \$d\$-向量 \$V\$（其中 \$\Pi = \text\{span\} \,{X_i}\$）的一个博赫纳-魏茨鲍克恒等式：曲率项等于 \$\Pi\$ 的法平均里奇的 \$d(n-d)\$ 倍。 这给出了两个直接应用：(a) 在 \$\Pi\$ 的法平均里奇有正下界时，调和简单 \$d\$-向量的博赫纳消失准则；以及 (b) 对于简单 \$d\$-本征场的霍奇拉普拉斯算子的第一特征值的利奇纳洛兹型下界。 显示英文摘要

摘要： We introduce two pointwise subspace averages of sectional curvature on a d-dimensional plane Pi in T_p M: (i) the intrinsic mean Ricci (the average of sectional curvatures of 2-planes contained in Pi); and (ii) the normal (mixed) mean Ricci (the average of sectional curvatures of 2-planes spanned by one vector in Pi and one in Pi^perp). Using Jacobi-field expansions, these means occur as the r^2/6 coefficients in the intrinsic (d-1)-sphere and normal (n-d-1)-sphere volume elements. A direct consequence is a Bochner--Weitzenboeck identity for simple d-vectors V (built from an orthonormal frame X_1,...,X_d with Pi = span{X_i}): the curvature term equals d(n-d) times the normal mean Ricci of Pi. This yields two immediate applications: (a) a Bochner vanishing criterion for harmonic simple d-vectors under a positive lower bound on the normal mean Ricci; and (b) a Lichnerowicz-type lower bound for the first eigenvalue of the Hodge Laplacian on simple d-eigenfields.