标题： 卫星操作和$θ$ 显示英文标题

标题： Satellite Operations and $θ$

摘要： 我们研究纽结不变量$\theta$在卫星操作下的行为。 首先，我们证明$\theta$在连通和下是可加的。 然后，我们引入一种计算工具来生成$t$-扭曲怀特海双生，并将其应用于研究无扭怀特海双生的情况。 我们提出一个猜想，描述$\theta$在无扭怀特海双生上的行为，并验证了该猜想对于前 2977 个素纽结的情况。 不变量对$\Theta = (\Delta,\theta)$由 Bar-Natan 和 van der Veen 引入，其中$\Delta$是亚历山大多项式。 不变量$\theta$易于计算，并在区分纽结方面有效。 对卫星操作和$\theta$的进一步探索被提出，以揭示电缆和一般卫星之间的新模式。 显示英文摘要

摘要： We study the behavior of the knot invariant $\theta$ under satellite operations. First, we prove that $\theta$ is additive under connected sum. We then introduce a computational tool to generate $t$-twisted Whitehead doubles and apply it to explore the case of untwisted Whitehead doubles. We propose a conjecture describing the behavior of $\theta$ on untwisted Whitehead doubles and verify the conjecture for the first 2977 prime knots. The pair of invariants $\Theta = (\Delta,\theta)$ was introduced by Bar-Natan and van der Veen, where $\Delta$ is the Alexander polynomial. The invariant $\theta$ is easily computable and effective at distinguishing knots. Further exploration of satellite operations and $\theta$ is proposed to reveal new patterns among cables and general satellites.