标题： 向量值再生核巴拿赫空间在神经网络和算子中的应用 显示英文标题

标题： Vector-Valued Reproducing Kernel Banach Spaces for Neural Networks and Operators

摘要： 近年来，人们对表征神经网络背后的函数空间表现出越来越浓厚的兴趣。 虽然浅层和深层标量值神经网络已被联系到标量值再生核巴拿赫空间（RKBS），但$\mathbb{R}^d$值神经网络和神经算子模型在RKBS框架下仍较少被理解。 为解决这一差距，我们提出了一个向量值RKBS（vv-RKBS）的一般定义，该定义本质上包含了相关的再生核。 我们的构造通过避免对称核域、有限维输出空间、自反性或可分性等限制性假设来扩展现有定义，同时仍然恢复了向量值再生核希尔伯特空间（vv-RKHS）的熟悉性质。 然后我们证明，浅层$\mathbb{R}^d$值神经网络是特定vv-RKBS中的元素，即积分和神经vv-RKBS的一个实例。 为了进一步探索神经算子的功能结构，我们分析了DeepONet和Hypernetwork架构，并证明它们也属于积分和神经vv-RKBS。 在所有情况下，我们建立了表示定理，表明在这些函数空间上的优化可以恢复相应的神经架构。 显示英文摘要

摘要： Recently, there has been growing interest in characterizing the function spaces underlying neural networks. While shallow and deep scalar-valued neural networks have been linked to scalar-valued reproducing kernel Banach spaces (RKBS), $\mathbb{R}^d$-valued neural networks and neural operator models remain less understood in the RKBS setting. To address this gap, we develop a general definition of vector-valued RKBS (vv-RKBS), which inherently includes the associated reproducing kernel. Our construction extends existing definitions by avoiding restrictive assumptions such as symmetric kernel domains, finite-dimensional output spaces, reflexivity, or separability, while still recovering familiar properties of vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces (vv-RKHS). We then show that shallow $\mathbb{R}^d$-valued neural networks are elements of a specific vv-RKBS, namely an instance of the integral and neural vv-RKBS. To also explore the functional structure of neural operators, we analyze the DeepONet and Hypernetwork architectures and demonstrate that they too belong to an integral and neural vv-RKBS. In all cases, we establish a Representer Theorem, showing that optimization over these function spaces recovers the corresponding neural architectures.