标题： 关于Poisson结构在扭共轭类上的$T$-叶与秩 显示英文标题

标题： On the $T$-leaves and the ranks of a Poisson structure on twisted conjugacy classes

摘要： 设 $G$ 为具有固定极大环面 $T$ 和波莱尔子群 $B \supset T$ 的连通复半单李群。 对于任意自同构 $\theta$ 的 $G$，我们引入了一个全纯泊松结构 $\pi_\theta$ 在 $G$ 上，它在 $\theta$-扭转共轭下是不变的，并且具有以下性质：$T$ 的每个 $\theta$-扭转共轭类相对于 $G$ 是一个泊松子簇 $\pi_\theta$。 我们描述了辛叶子的$T$轨道，称为$T$叶子，属于$\pi_\theta$，并计算了$\pi_\theta$辛叶子（即秩）的维数。 我们给出了在任意给定的$\theta$-扭曲共轭类中$\pi_\theta$的最低秩，并且我们将$\pi_\theta$在$G$中的最低可能秩点集合与$G$的球面$\theta$-扭曲共轭类联系起来。 特别地，我们证明了如果且仅如果 $\theta$ 在 $G$ 的Dynkin图上诱导了一个对合变换，则 $\pi_\theta$ 在 $G$ 上某处消失，并且在这种情况下，一个 $\theta$-扭曲共轭类 $C$ 包含 $\pi_\theta$ 的消失点当且仅当 $C$ 是球面的。 显示英文摘要

摘要： Let $G$ be a connected complex semisimple Lie group with a fixed maximal torus $T$ and a Borel subgroup $B \supset T$. For an arbitrary automorphism $\theta$ of $G$, we introduce a holomorphic Poisson structure $\pi_\theta$ on $G$ which is invariant under the $\theta$-twisted conjugation by $T$ and has the property that every $\theta$-twisted conjugacy class of $G$ is a Poisson subvariety with respect to $\pi_\theta$. We describe the $T$-orbits of symplectic leaves, called $T$-leaves, of $\pi_\theta$ and compute the dimensions of the symplectic leaves (i.e, the ranks) of $\pi_\theta$. We give the lowest rank of $\pi_\theta$ in any given $\theta$-twisted conjugacy class, and we relate the lowest possible rank locus of $\pi_\theta$ in $G$ with spherical $\theta$-twisted conjugacy classes of $G$. In particular, we show that $\pi_\theta$ vanishes somewhere on $G$ if and only if $\theta$ induces an involution on the Dynkin diagram of $G$, and that in such a case a $\theta$-twisted conjugacy class $C$ contains a vanishing point of $\pi_\theta$ if and only if $C$ is spherical.