标题： 切瓦利群在$\Z$上：一种表示论的方法 显示英文标题

标题： Chevalley groups over $\Z$: A representation-theoretic approach

摘要： 设 $G(\mathbb{Q})$ 是在 $\mathbb{Q}$ 上的单连通Chevalley群，对应于在 $\mathbb{C}$ 上的简单李代数 $\mathfrak g$。 设$V$为一个有限维忠实的最高权$\mathfrak g$-模，并设$V_\mathbb{Z}$为$V$的Chevalley$\mathbb{Z}$-型。 设$\Gamma(\mathbb{Z})$为保持$V_{\mathbb{Z}}$的$G(\mathbb{Q})$的子群，并设$G(\mathbb{Z})$为$G(\mathbb{Q})$的$\mathbb{Z}$点的群。 然后 $G(\mathbb{Q})$ 是 \emph{积分} 如果 $G(\mathbb{Z})=\Gamma(\mathbb{Z})$. Chevalley 的原始工作构建了一个 $G(\mathbb{Q})$的方案理论积分形式，它等于 $\Gamma(\mathbb{Z})$. 这里我们给出一个表示论证明，利用$G(\mathbb{Q})$在$V$上的作用，而非群概形的语言，证明$G(\mathbb{Q})$的整性。我们讨论在尝试将其扩展为 Kac-Moody 群在$\mathbb{Q}$上的整性证明时出现的挑战和开放问题。 显示英文摘要

摘要： Let $G(\mathbb{Q})$ be a simply connected Chevalley group over $\mathbb{Q}$ corresponding to a simple Lie algebra $\mathfrak g$ over $\mathbb{C}$. Let $V$ be a finite dimensional faithful highest weight $\mathfrak g$-module and let $V_\mathbb{Z}$ be a Chevalley $\mathbb{Z}$-form of $V$. Let $\Gamma(\mathbb{Z})$ be the subgroup of $G(\mathbb{Q})$ that preserves $V_{\mathbb{Z}}$ and let $G(\mathbb{Z})$ be the group of $\mathbb{Z}$-points of $G(\mathbb{Q})$. Then $G(\mathbb{Q})$ is \emph{integral} if $G(\mathbb{Z})=\Gamma(\mathbb{Z})$. Chevalley's original work constructs a scheme-theoretic integral form of $G(\mathbb{Q})$ which equals $\Gamma(\mathbb{Z})$. Here we give a representation-theoretic proof of integrality of $G(\mathbb{Q})$ using only the action of $G(\mathbb{Q})$ on $V$, rather than the language of group schemes. We discuss the challenges and open problems that arise in trying to extend this to a proof of integrality for Kac-Moody groups over $\mathbb{Q}$.