标题： 关于正交投影 显示英文标题

标题： On the Orthogonal Projections

摘要： 对于任何${\rm E}$-刚性表示$e$，我们构造一个到${\rm rep}(e^\perp)$的正交投影函子，该函子是自然嵌入的左伴随。 我们建立了${\rm rep}(e^\perp)$中的表示与与$e$兼容的表示之间的双射。 对于带势的箭图，我们证明${\rm rep}(e^\perp)$形成另一个带势的箭图的模范畴。 我们推导了正补和负补的$\delta$-向量以及${\rm rep}(e^\perp)$中简单模的维数向量的变异公式，使能够找到投影箭图与势。 此外，我们引入了一种对箭图与势的修改后的投影，该投影保留一般表示。 对于簇代数的应用，我们建立了与稳定化函子的联系。 显示英文摘要

摘要： For any ${\rm E}$-rigid presentation $e$, we construct an orthogonal projection functor to ${\rm rep}(e^\perp)$ left adjoint to the natural embedding. We establish a bijection between presentations in ${\rm rep}(e^\perp)$ and presentations compatible with $e$. For quivers with potentials, we show that ${\rm rep}(e^\perp)$ forms a module category of another quiver with potential. We derive mutation formulas for the $\delta$-vectors of positive and negative complements and the dimension vectors of simple modules in ${\rm rep}(e^\perp)$, enabling an algorithm to find the projected quiver with potential. Additionally, we introduce a modified projection for quivers with potentials that preserves general presentations. For applications to cluster algebras, we establish a connection to the stabilization functors.